Sedam jednačina koje vladaju svijetom

Alarm je zazvonio. Pogled na sat. Već je 6.30 ujutro. Niste još ni ustali iz kreveta, a već je najmanje 6 matematskih jednakosti utjecalo na vaš život. Memorijski čip koji pohranjuje vrijeme u vašem satu nije se mogao osmisliti bez ključne jednačine u kvantnoj mehanici. To vrijeme će podesiti radijski signali o kojima ni u snu nebi znali da nije bilo četiri Maksvelove jednačine elektromagnetizma. A sam signal putuje prema zakonima koje nalaže jednačina prostiranja talasa.

Ustvari, plutamo u skrivenom okeanu jednačina. Prisutne su u transportu, financijskom i zdravstvenom sistemu, prilikom otkrivanja i suzbijanja kriminala, u komunikaciji, hrani, vodi, grijanju i osvjetljenju. Uđite pod tuš i već uživate blagodati jednačina pomoću kojih se regulira dotok vode. Vaše žitarice dolaze od usjeva koji se uzgajaju pomoću statističkih jednačina.

Aerodinamika vašeg auta je dizajnirana putem Navier-Stokes – ovih jednačina koje opisuju način na koji zrak struji oko objekta. Paljenje satelitske navigacije uključuje ponovo kvantnu fiziku, plus Njutnove zakone kretanja i gravitacije, uz pomoć kojih su lansirani sateliti za geopozicioniranje. Tu se još nalaze jednačine za generiranje slučajnih brojeva za vremensko podešavanje signala, trigonometrijske jednadžbe za određivanje položaja, te specijalna i opšta relativnost za precizno praćenje kretanja satelita pod uticajem zemljine gravitacije.

Bez jednačina, većina naše tehnologije ne bi nikad bila izumljena. Naravno, važna otkrića kao što su vatra i točak su došla na svijet bez ikakvog poznavanja matematike. Ali bi bez tih jednačina vjerovatno još uvijek bili zaglavljeni u srednjem vijeku.

Jednačine sežu duboko dalje od tehnologije. Bez njih, nedostajalo bi nam razumijevanje fizikalnih zakona koji upravljaju plimama, valovima koji se lome o plažu, klimom, kretanjem planeta, nuklearnim pećima unutar zvijezda, spirale galaksija – neizmjernu veličinu svemira i naše mjesto u njemu.

Postoji na hiljade bitnih jednakosti. Njih sedam koje će biti spomenute – jednačina prostiranja talasa, Maksvelove četiri jednačine, Fourierova transformacija i Schrodingerova jednačina – ilustruju način na koji su empirijska osmatranja dovela do jednačina koje se koriste u nauci i svakodnevnom životu.

1. Jednačina prostiranja

Mi živimo u svijetu valova. Naše uši osjećaju talase kompresije u zraku kao zvuk, a naše oči opažaju svjetlosne valove. Prilikom zemljotresa, uzrok destrukcije predstavljaju seizmički valovi koji se kreću kroz zemlju.

Matematičari i naučnici nisu nikako mogli zaobići razmišljanje o talasima, ali početno zanimanje dolazi iz umjetnosti: kako violina proizvodi zvuk?

Ovo pitanje seže unazad do Grčkog kulta Pitagorejaca, koji su otkrili da ukoliko dvije žice, istog tipa i jednake zategnutosti, imaju dužine jednostavnog omjera, npr. 2:1 ili 3:2, proizvode zvukove koji, zajedno, zvuče neuobičajeno harmonično. Kompleksniji omjeri stvaraju disonance i zvukove koji nisu baš ugodni ušima.

Međutim, tek je švicarski matematičar Johan Bernuli (Johan Bernoulli) počeo uviđati neki smisao u njima. Godine 1727., modelirao je žicu za violinu kao veliki broj jako bliskih točkastih masa, povezanih međusobno oprugama. Koristio je Njutnove zakone za ispisivanje jednačina kretanja sistema i riješio ih. Iz rješenja je zaključio da je najjednostavniji oblik vibriranja žice, ustvari, sinusoida. Postoje također i drugačiji načini vibriranja – sinusoide valova čije se talasne dužine nalaze nekoliko puta unutar dužine žice, poznatije muzičarima kao „harmonici“.

Skoro 20 godina poslije, Jean Le Rond d’Alembert je pratio sličnu proceduru, ali se usmjerio na pojednostavljivanje jednačina kretanja umjesto na rješenje. Ono što je proizašlo je elegantna jednačina koja opisuje način na koji se oblik žice mijenja u vremenu.

Ovo je jednačina prostiranja talasa, jednačina koja tvrdi da je ubrzanje bilo kojeg malog segmenta žice proporcionalno tenziji koja djeluju na taj segment. Također, jednačina prostiranja implicira da valovi čije frekvencije nemaju jednostavan omjer proizvode neprijatne zvukove, te je ovo jedan od razloga zašto jednostavni numerički omjeri daju tonove koji zvuče harmonično.

Valna jednačina se može modificirati tako da obuhvati kompleksnije fenomene, kao što su zemljotresi. Njene sofisticirane verzije dozvoljavaju seizmolozima informacije o radnjama koje se odvijaju na nekoliko milja pod našim nogama. Najveća nagrada u ovome polju bi mogao biti pouzdan način za predviđanje zemljotresa i vulkanskih erupcija, te mnoge metode koje se izučavaju se zasnivaju na jednadžbi prostiranja.

2. Maksvelove jednačine

Međutim, najutjecajniji uvid u jednadžbu prostiranje dolazi iz istraživanja Maksvelovih jednačina elektromagnetizma.

U 1820. godini, većina ljudi je osvjetljavala svoje domove pomoću svijeća i svjetiljki. Ukoliko ste željeli poslati poruku, pisali ste pisma i slali ih kočijama.

U roku od samo 100 godina, domovi i ulice počinju imati električno osvjetljenje, putem telegrafa se poruke šalju na drugi kontinent, ljudi čak i pričaju jedni s drugima pomoću telefona a radio komunikacije se demonstriraju u laboratorijama.

Ova društvena i tehnološka revolucija je pokrenuta otkrićima dva naučnika. Oko 1830., Majkl Faradej (Michael Faradey) utvrđuje osnovne fizikalne zakonitosti u elektromagnetizmu. 30 godina kasnije, Džejms Klerk Maksvel (James Clerk Maxwell) započinje formuliranje matematskih osnova na kojima se zasnivaju Faradejevi eksperimenti i teorije.

U to vrijeme, većina naučnika uključenih u polja elektriciteta i magnetizma je tražilo analogije sa gravitacijom, na koju se gledalo kao na silu koja djeluje između dva tijela koja se nalaze određenoj udaljenosti.

Faradej je imao drugačiju ideju: da bi objasnio niz eksperimenata provedenih nad elektricitetom i magnetizmom, pretpostavio je kako su oba fenomena polja koja prožimaju prostor, koja se mijenjaju u vremenu i koja se mogu opaziti preko sila koje proizvode. Svoje teorije je postavio u terminima geometrijskih struktura, kao što linije magnetske sile.

Maksvel reformulira te ideje pomoću analogija sa matematikom protoka fluida. Tvrdio je kako su linije sile analogne putanji molekula fluida i da je jačina električnog ili magnetskog polja analogna brzini fluida. Do 1864. Maksvel je imao četiri jednačine koje opisuju osnovne interakcije između električnog i magnetskog polja. Prve dvije jednačina govore o konzervativnosti oba polja, dok druge dvije tvrde kako se promjenama u električnom polju stvara magnetno polje, i obrnuto.

Međutim, tek slijedeća stvar koju Maksvel radi predstavlja nešto stvarno nevjerovatno. Sa nekoliko jednostavnih manipulacija nad sopstvenim jednakostima uspio je izvesti jednadžbu prostiranja talasa te, shodno tome, zaključio kako svjetlost mora biti elektromagnetski val.

Kako niko nije mogao zamisliti takvu fundamentalnu vezu između svjetlosti, elektriciteta i magnetizma, ova činjenica sama po sebi je predstavljala ogromno otkriće. Kako god, bilo je toga još.

Svjetlost dolazi u nekoliko boja koje odgovaraju određenim talasnim dužinama. Valne dužine koje smo mi u stanju vidjeti su određene hemijom koja prožima naše oči. Maksvelove jednačine su dovele do jako dramatičnog predviđanja – da postoje elektromagnetski valovi svih talasnih dužina. Neki od njih, sa mnogo većim talasnim dužinama nego što smo u stanju vidjeti, će promijeniti svijet: radio talasi.

Eksperimentalnu demonstraciju radio valova dobijamo u 1887. zahvaljujući Hajnrih Herzu (Heinrich Hertz), koji ipak ne uspijeva uvidjeti najveći revolucionarni potencijal u njima. Ukoliko bi bilo moguće utisnuti informaciju (signal) u radio valove, mogli bi ste preko njih komunicirati sa ostatkom svijeta.

Nikola Tesla, Markoni (Guglielmo Marconi) i drugi su ostvarili ovu zamisao koju prati cijeli arsenal modernih komunikacija, od radija i televizora do radara i mikrotalasa za mobitele. Sve to kao posljedica samo četiri jednačine i malo računa.

Maksvelove jednačine nisu samo promijenile svijet, otvorile su jedan potpuni novi. Ono što Maksvelove jednačine ne uspijevaju objasniti je jednako bitno. Iako njegove jednačine tvrde da je svjetlost talas, fizičari ubrzo otkrivaju situacije u kojima se ponašanje svjetlosti ne slaže sa ovom tvrdnjom. Usmjerite svjetlost na metal i dobijate elektricitet, fenomen poznat pod imenom „fotoelektrični efekat“.

Ovaj fenomen jedino ima smisla ukoliko se svjetlost ponaša kao čestica. Prema tome, da li je svjetlost talas ili čestica? Zapravo, malo od oboje. Materija nastaje od kvantnih valova, a usko sklupčana hrpa valova se ponaša poput čestice. Ponašanje tih valove opisuje slijedeća jednakost.

3. Schroedingerova jednačina

U 1927. Ervin Schroedinger zapisuje jednačinu kvantnih valova.

Prelijepo se slagala sa eksperimentima dok je, istovremeno, ocrtavala jedan čudan novi svijet, svijet u kojem fundamentalne čestice kao što je elektron nisu dobro definirani objekti, već se tretiraju kao „oblaci“ vjerovatnoće.

Ubrzo teoretičari počinju brinuti zbog svakakvih kvantnih čudnovatosti, kao što su mačke koje su simultano i mrtve i žive te paralelni univerzumi u kojima Adolf Hitler pobjeđuje u 2. svjetskom ratu.

Međutim, kvantna mehanika ne služi samo kao izvor filozofskih enigmi. Skoro svi moderni uređaji – računari, mobilni telefoni, konzole za igre, automobili, frižideri, peći – u sebi sadrže memorijski čip koji se bazira na tranzistoru, čiji rad opisuje kvantna mehanika poluprovodnika. Nove koristi od kvantne mehanike stižu skoro pa sedmično.

Kvantne tačke – maleni grumeni poluprovodnika – mogu emitirati svjetlost bilo koje boje i koriste se u biologiji, gdje zamjenjuju tradicionalne, često otrovne, boje. Inženjeri i fizičari pokušavaju osmisliti kvantni računar, računar koji je u stanju izvoditi mnogo proračuna paralelno, baš kao i mačka koja je i mrtva i živa.

Laseri su još jedna aplikacija kvantne mehanike. Koristimo ih za čitanje informacija sa sitnih žigova na cd-ovima, dvd-ovima, i Blu–ray diskovima. Astronomi koriste lasere za mjerenje udaljenosti između mjeseca i Zemlje. Možda je čak i moguće lansirati svemirsku letjelicu na leđima moćne laserske zrake.

4. Fourierova transformacija

Posljednje poglavlje ove priče je o jednadžbi pomoću koje nalazimo određeni smisao u valovima.

Njena priča počinje u 1807., kada Džozef Fourier (Joseph Fourier) raspisuje jednakost za protok toplote.

Rad o tome predaje Francuskoj akademiji nauka, ali je rad odbijen. 1812., ipak, akademija raspisuje godišnju nagradu na temu toplote. Fourier ponovo predaje rad, ovaj put malo duži i dotjeran – i pobjeđuje.

Međutim, dio Fourierovog rada koji najviše intrigira nije sama jednačina, već način na koji je riješena. Jedan od tipičnih problema je opisati promjenu temperature duž tankog štapa u vremenu, sa datim početnim temperaturnim uslovima. Rješenje bi bilo jako jednostavno da se temperatura duž štapa mijenja u obliku sinusoide.

Iz tog razloga Fourier kompliciranije profile tretira kao zbir sinusoida različitih perioda, rješava jednakost za svaku komponentu tog zbira i ta rješenja zatim sabira. Fourier je tvrdio kako ovaj metod rješavanja vrijedi za svaki mogući profil, čak i profil kod kojeg postoje skokovite promjene u temperaturi. Sve što morate je sabrati beskonačan broj doprinosa svake sinuisode.

Ipak, Francuska akademija nauka Fourierov rad smatra nedovoljno rigoroznim i ponovo odbija njegovo objavljivanje. 1822. Fourier ignoriše  sve primjedbe i svoju teoriju objavljuje u vidu knjige. Dvije godine kasnije postaje sekretar akademije, slasno se naslađuje nad svim svojim kritičarima i objavljuje svoj rad u žurnalu te akademije.

Kritike su ipak bile smislene donekle. U to vrijeme, matematičari su počeli uviđati kako su beskonačni redovi jako opasne zvijeri; nisu se baš uvijek ponašali kao lijepi, konačni zbir.

Riješenje ove problematike se pokazalo izrazito teškim, ali je konačni sud proglasio Fourierovu ideju kao rigoroznu ukoliko se isključe određeni jako „neregularni“ profili. Rezultat svega toga je Fourierova transformacija, jednačina koja tretira vremenski promjenjive signale kao zbir beskonačno mnogo sinusoida različitih amplituda i frekvencija.

Danas Fourierova transformacija na naše živote utiče na bezbroj načina.

Na primjer, može se koristiti za analiziranje vibracijskih signala nastalih od zemljotresa i računanje frekvencija na kojima će prijenos energije ka zemlji biti najveći.

Razuman korak ka testiranju otpornosti zgrade na zemljotrese je osiguravanjem da se svojstvene frekvencije zgrade razlikuju od frekvencija zemljotresa.

Druge aplikacije uključuju otklanjanje šuma sa starih zvučnih zapisa, otkrivanje strukture DNA koristeći X – zrake, poboljšanjenje radio prijema i onesposobljavanje neželjenih vibracija na automobilu. Plus jedna aplikacija koju koristimo, i ne znajući to, svaki put kad upotrijebimo digitalni fotoaparat.

Ukoliko razmislite malo koliko je informacija potrebno da se predstavi svaka boja i svjetlo u svakom pikselu vaše digitalne slike, uviđate kako digitalne kamere naizgled trpaju 10 puta više informacija u svoju memorijsku karticu nego što ona može podnijeti. Kamere to rade pomoću JPEG kompresije podataka, koja se sastoji od 5 koraka.

Jedan od tih koraka je digitalna verzija Fourierova transformacije, koja radi sa signalima koji se ne mijenjaju u vremenu već u ovisnosti od položaja na slici. Matematika je identična. Ostala četiri koraka dodatno smanjuju veličinu podataka, na otprilike jednu desetinu prvobitne vrijednosti.

Ovo je samo sedam jednačina s kojima se susrećemo svaki dan, uopšte ne uviđajući da su tu. Utjecaj jednačina na historiju ide čak i dublje. Istinski revolucionarna jednačina će više utjecati na ljudsku egzistenciju nego svi kraljevi i kraljice sa svojim spletkama opisanih u historijskim knjigama.

Postoji jedna jednačina, iznad svih, o kojoj naučnici sanjaju već dugo: teorija svega koja ujedinjuje kvantnu mehaniku i teoriju relativiteta. Najbolji kandidat za to je teorija superstruna. Čini se, ipak, da su naše jednačine samo pojednostavljeni modeli koji ne uspijevaju uhvatiti najdublju srž stvarnosti. Čak iako se priroda ravna univerzalnim zakonima, postoji mogućnost da se ne mogu opisati putem jednačina.

Neki naučnici smatraju da je vrijeme da napustimo tradicionalne jednačine u korist algoritama – općenitiji načini za računanje stvari koje uključuju donošenje odluka. Dok taj dan ne dođe, ako ikad, naš najviši uvid u prirodne zakone dolazi u obliku jednačina, i treba sve od sebe dati ka njihovom razumijevanju.

—

Referenca:  newscientist.com

Moglo bi vas interesovati :

Zeleno svjetlo za Random Penguin

PayPal zvanično stigao u Srbiju

WhatsApp tvrdi: Ne pregovaramo o prodaji s Go...

Blizina nuklearke i rizik za rak

Podijelite sa prijateljima!

• 

Tags: featured, Fourierovav transformacija, Maxvelova jednačina, Schroedingerova jednačina

Kategorija: Matematika